403、青蛙过河
一只青蛙想要过河。 假定河流被等分为 x 个单元格，并且在每一个单元格内都有可能放有一石子（也有可能没有）。 青蛙可以跳上石头，但是不可以跳入水中。
给定石子的位置列表（用单元格序号升序表示）， 请判定青蛙能否成功过河（即能否在最后一步跳至最后一个石子上）。 开始时， 青蛙默认已站在第一个石子上，并可以假定它第一步只能跳跃一个单位（即只能从单元格1跳至单元格2）。
如果青蛙上一步跳跃了 k 个单位，那么它接下来的跳跃距离只能选择为 k - 1、k 或 k + 1个单位。 另请注意，青蛙只能向前方（终点的方向）跳跃。
请注意：
- 石子的数量 ≥ 2 且 < 1100；
- 每一个石子的位置序号都是一个非负整数，且其 < 231；
- 第一个石子的位置永远是0。
示例 1:
[0,1,3,5,6,8,12,17]
总共有8个石子。
第一个石子处于序号为0的单元格的位置, 第二个石子处于序号为1的单元格的位置,
第三个石子在序号为3的单元格的位置， 以此定义整个数组...
最后一个石子处于序号为17的单元格的位置。
返回 true。即青蛙可以成功过河，按照如下方案跳跃：
跳1个单位到第2块石子, 然后跳2个单位到第3块石子, 接着
跳2个单位到第4块石子, 然后跳3个单位到第6块石子,
跳4个单位到第7块石子, 最后，跳5个单位到第8个石子（即最后一块石子）。
示例 2:
[0,1,2,3,4,8,9,11]
返回 false。青蛙没有办法过河。
这是因为第5和第6个石子之间的间距太大，没有可选的方案供青蛙跳跃过去。
来源：力扣（LeetCode）
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题解
1、暴力递归
- 代码
// java
class Solution {
public boolean canCross(int[] stores) {
return canCrassCore(stores,0,0);
}
private boolean canCrossCore(int[] stores,int index,int jumpSize) {
for (int i = index + 1;i < stores.length;i++) {
int gap = stores[i] - stores[index];
// 满足下一次跳跃的条件
if (gap >= jumpSize - 1 && gap <= jumpSize + 1) {
// 递归调用
if (canCroossCore(stores,i,gap)) {
return true;
}
}
}
}
}
优雅的暴力
有条件的递归，减少不必要的搜索，部分剪枝
public class Solution {
public boolean canCross(int[] stones) {
return can_Cross(stones, 0, 0);
}
// ind 开始下标
public boolean can_Cross(int[] stones, int ind, int jumpsize) {
if (ind == stones.length - 1) {
return true;
}
// 二分查找目标值k
int ind1 = Arrays.binarySearch(stones, ind + 1, stones.length, stones[ind] + jumpsize);
// 满足条件并跳跃
if (ind1 >= 0 && can_Cross(stones, ind1, jumpsize)) {
return true;
}
// 二分查找目标值k-1
int ind2 = Arrays.binarySearch(stones, ind + 1, stones.length, stones[ind] + jumpsize - 1);
// 满足条件并跳跃
if (ind2 >= 0 && can_Cross(stones, ind2, jumpsize - 1)) {
return true;
}
// 二分查找目标值k+1
int ind3 = Arrays.binarySearch(stones, ind + 1, stones.length, stones[ind] + jumpsize + 1);
// 满足条件并跳跃
if (ind3 >= 0 && can_Cross(stones, ind3, jumpsize + 1)) {
return true;
}
return false;
}
}
// 作者：LeetCode
// 链接：https://leetcode-cn.com/problems/frog-jump/solution/qing-wa-guo-he-by-leetcode/
// 来源：力扣（LeetCode）
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3、记忆化递归
$memo[i][j]$ 表示是否可以从i处跳跃到j处
public class Solution {
public boolean canCross(int[] stores) {
int[][] memo = new int[stores.length][stores.length];
for (int[] row : memo) {
Arrays.fill(row,-1);
}
return canCrossCore(stores,0,0,memo) == 1;
}
public int canCrossCore(int[] stores,int index,int jumpSize,int[][] memo) {
if (memo[index][jumpSize] >= 0) {
return memo[index][jumpSize];
}
for (int i = index+1;i < stores.length;i++) {
int gap = stores[i] - stores[index];
if (gap >= jumpSize - 1 && gap <= jumpSize +1) {
// 递归搜索
if (canCrossCore(stores,i,gap,memo) == 1) {
memo[index][gap] = 1;// 存储中间值
return 1;
}
}
}
memo[index][jumpSize] = (index == stores.length - 1)? 1: 0;
return memo[index][jumpSize];
}
}
3、记忆化递归 + 二分搜索合适的跳跃位置
public class Solution {
public boolean canCross(int[] stones) {
int[][] memo = new int[stones.length][stones.length];
for (int[] row : memo) {
Arrays.fill(row, -1);
}
return can_Cross(stones, 0, 0, memo) == 1;
}
public int can_Cross(int[] stones, int ind, int jumpsize, int[][] memo) {
if (memo[ind][jumpsize] >= 0) {
return memo[ind][jumpsize];
}
int ind1 = Arrays.binarySearch(stones, ind + 1, stones.length, stones[ind] + jumpsize);
if (ind1 >= 0 && can_Cross(stones, ind1, jumpsize, memo) == 1) {
memo[ind][jumpsize] = 1;
return 1;
}
int ind2 = Arrays.binarySearch(stones, ind + 1, stones.length, stones[ind] + jumpsize - 1);
if (ind2 >= 0 && can_Cross(stones, ind2, jumpsize - 1, memo) == 1) {
memo[ind][jumpsize - 1] = 1;
return 1;
}
int ind3 = Arrays.binarySearch(stones, ind + 1, stones.length, stones[ind] + jumpsize + 1);
if (ind3 >= 0 && can_Cross(stones, ind3, jumpsize + 1, memo) == 1) {
memo[ind][jumpsize + 1] = 1;
return 1;
}
memo[ind][jumpsize] = ((ind == stones.length - 1) ? 1 : 0);
return memo[ind][jumpsize];
}
}
// 作者：LeetCode
// 链接：https://leetcode-cn.com/problems/frog-jump/solution/qing-wa-guo-he-by-leetcode/
// 来源：力扣（LeetCode）
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3、动态规划——自下而上
在动态规划方法中，我们会利用散列表 map，对于散列表中的 key:value，key 表示当前石头的位置，value是一个包含 jumpsizejumpsize 的集合，其中每个 jumpsize 代表可以通过大小为 jumpysize 的一跳到达当前位置。
首先我们对散列表初始化，key 为所有石头的位置，除了位置 0 对应的 value 为包含一个值 0 的集合以外，其余都初始化为空集。
接下来，依次遍历每个位置上的石头。对于每个 currentPosition，遍历 value 中每个 jumpsize，判断位置 currentPosition + newjumpsize 是否存在于 map 中，对于每个 jumpsize，newjumpsize 分别为 jumpsize−1，jumpsize，jumpsize+1。如果找到了，就在对应的 valuevalue 集合里新增 newjumpsize。重复这个过程直到结束。
如果在结束的时候，最后一个位置对应的集合非空，那也就意味着我们可以到达终点，如果还是空集那就意味着不能到达终点。
链接：https://leetcode-cn.com/problems/frog-jump/solution/qing-wa-guo-he-by-leetcode/
public class Solution {
public boolean canCross(int stores) {
Map<Integer,Set<Integer>> map = new HashMap<>();
// 为每一处的石块初始化，可能的跳跃集合
for (int i = 0;i < stores.length;i++) {
map.put(stores[i],new HashSet<Interger>());
}
map.get(0).add(0);
// 遍历所有的石块，目标依次递增
for (int i = 0;i < stores.length;i++) {
// 遍历跳跃集合
for (int k:map.get(stores[i])) {
for (int step = k-1;step <= k+1;step++) {
// 有可以到达的石块
if (step > 0 && map.containsKey(stores[i]+step)) {
// 为到达的石块添加可能的k
map.get(stores[i]+step).add(step);
}
}
}
}
return map.get(stores[stores.length - 1]).size() > 0;
}
}
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