887、鸡蛋掉落
你将获得 K 个鸡蛋，并可以使用一栋从 1 到 N 共有 N 层楼的建筑。
每个蛋的功能都是一样的，如果一个蛋碎了，你就不能再把它掉下去。
你知道存在楼层 F ，满足 0 <= F <= N 任何从高于 F 的楼层落下的鸡蛋都会碎，从 F 楼层或比它低的楼层落下的鸡蛋都不会破。
每次移动，你可以取一个鸡蛋（如果你有完整的鸡蛋）并把它从任一楼层 X 扔下（满足 1 <= X <= N）。
你的目标是确切地知道 F 的值是多少。
无论 F 的初始值如何，你确定 F 的值的最小移动次数是多少？
示例 1：
输入：K = 1, N = 2
输出：2
解释：
鸡蛋从 1 楼掉落。如果它碎了，我们肯定知道 F = 0 。
否则，鸡蛋从 2 楼掉落。如果它碎了，我们肯定知道 F = 1 。
如果它没碎，那么我们肯定知道 F = 2 。
因此，在最坏的情况下我们需要移动 2 次以确定 F 是多少。
示例 2：
输入：K = 2, N = 6
输出：3
示例 3：
输入：K = 3, N = 14
输出：4
提示：
1 <= K <= 100
1 <= N <= 10000
题解
1、动态规划 + 二分查找
dp(K, N)为在状态(K, N)下最少需要的步数。
$$
dp(K,N)=1+min_{1≤X≤N}(max(dp(K−1,X−1),dp(K,N−X)))
$$
class Solution {
public int superEggDrop(int k,int n) {
return dp(k,n);
}
// 备忘录
private Map<Integer,Integer> memo = new HashMap<>();
// 递归
private int dp(int k,int n){
// 该问题没有求解
if (!memo.containsKey(n * 100 + k)) {
int ans;
if (n == 0) {
ans = 0;
} else if (k == 1) {
ans = n;
} else {
// 二分
int lo = 1,hi = n;
while (lo + 1 < hi) {
int x = (lo + hi) / 2;
// 递增
int t1 = dp(k - 1, x - 1);
// 递减
int t2 = dp(k, n - x);
if (t1 < t2) {
lo = x;
} else if (t1 > t2) {
hi = x;
} else {
lo = hi = x;
}
}
// 二分递归
ans = 1 + Math.min(Math.max(dp(k - 1,lo - 1), dp(k, n - lo)),Math.max(dp(k - 1, hi - 1),dp(k, n - hi)));
}
memo.put(n * 100 + k,ans);
}
return memo.get(n * 100 + k);
}
}
2、决策单调性
$$
dp(K,N)=1+ min_{1≤X≤N}(max(dp(K−1,X−1),dp(K,N−X)))
$$
假设 $X_{opt}$ 是使得 dp(K, N) 取到最优值的最小决策点 $X_0$
$
X_{opt}=arg(min_{1≤X≤N}(max(dp(K−1,X−1),dp(K,N−X))))
$
class Solution {
public int superEggDrop(int K,int N) {
// 现在，dp[i] 表示 dp(1,i)
int[] dp = new int[N + 1];
for (int i = 0;i <= N;i++) {
dp[i] = i;
}
for (int k = 2;k <= K;k++) {
// 现在，我们计算dp2[i] = dp(k,n)
int[] dp2 = new int[N + 1];
int x = 1;
for (int n = 1;n <= N;n++) {
// 找到dp2[n] = dp(k,n)
// 当我们可以使得结果更好时，递增x
// 注意 max(dp[x-1], dp2[n-x]) > max(dp[x], dp2[n-x-1])
// 是简单地 max(T1(x-1), T2(x-1)) > max(T1(x), T2(x)).
while (x < n && Math.max(dp[x - 1],dp2[n - x]) > Math.max(dp[x],dp2[n - x - 1])) {
x++;
}
// 对于x的最终的答案
dp2[n] = 1 + Math.max(dp[x - 1],dp2[n - x]);
}
// 更新第k层的状态
dp = dp2;
}
return dp[N];
}
}
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