题目
给你一个下标从 0 开始的 正 整数数组 nums 。
如果 nums 的一个子数组满足：移除这个子数组后剩余元素 严格递增 ，那么我们称这个子数组为 移除递增 子数组。比方说，[5, 3, 4, 6, 7] 中的 [3, 4] 是一个移除递增子数组，因为移除该子数组后，[5, 3, 4, 6, 7] 变为 [5, 6, 7] ，是严格递增的。
请你返回 nums 中 移除递增 子数组的总数目。
注意 ，剩余元素为空的数组也视为是递增的。
子数组 指的是一个数组中一段连续的元素序列。
示例 1：
输入：nums = [1,2,3,4]
输出：10
解释：10 个移除递增子数组分别为：[1], [2], [3], [4], [1,2], [2,3], [3,4], [1,2,3], [2,3,4] 和 [1,2,3,4]。移除任意一个子数组后，剩余元素都是递增的。注意，空数组不是移除递增子数组。
示例 2：
输入：nums = [6,5,7,8]
输出：7
解释：7 个移除递增子数组分别为：[5], [6], [5,7], [6,5], [5,7,8], [6,5,7] 和 [6,5,7,8] 。
nums 中只有这 7 个移除递增子数组。
示例 3：
输入：nums = [8,7,6,6]
输出：3
解释：3 个移除递增子数组分别为：[8,7,6], [7,6,6] 和 [8,7,6,6] 。注意 [8,7] 不是移除递增子数组因为移除 [8,7] 后 nums 变为 [6,6] ，它不是严格递增的。
提示：
1 <= nums.length <= 501 <= nums[i] <= 50
分析
如果这个数组本身的单调递增的，那么移除递增子数组的数量等组合数求和：
$$
\sum_n^i C_n^i = \sum_n^i i = n (n-1)/2
$$
如果数组中存在局部递增的情况：
- 一个局部递增的情况，前缀递增，后缀递增
- 多个局部递增的情况，需要移除多个非递增区域
任意一个数组的移除递增子数组的个数范围 [3,n(n-1)/2]
算法描述：
- 统计前缀递增子数组的长度
- 如果长度等于n直接返回结果
- 否则，从后往前遍历：
- 依次与前缀的递增子数组进行匹配，保证后缀递增和前缀递增进行拼接
- 更新移除递增子序列的个数
class Solution {
public int incremovableSubarrayCount(int[] nums) {
int i = 0, n = nums.length;
// 处理是否是全量递增数组
while (i + 1 < n && nums[i] < nums[i + 1]) {
++i;
}
if (i == n - 1) {
return n * (n + 1) / 2;
}
// 对于非全量递增数组，i标记了递减位置，从后往前遍历j in n-1 -> 0，找到第一个小于j位置元素的i
int ans = i + 2;
for (int j = n - 1; j > 0; --j) {
// 找到第一个小于nums[j]的i的值
while (i >= 0 && nums[i] >= nums[j]) {
--i;
}
// 更新结果
ans += i + 2;
// 后缀非递增，直接退出循环
if (nums[j - 1] >= nums[j]) {
break;
}
}
return ans;
}
}
数据量增大
- $1 <= nums.length <= 10^5$
- $1 <= nums[i] <= 10^9$
返回值改为 long即可
class Solution {
public long incremovableSubarrayCount(int[] a) {
int n = a.length;
int i = 0;
while (i < n - 1 && a[i] < a[i + 1]) {
i++;
}
if (i == n - 1) { // 每个非空子数组都可以移除
return (long) n * (n + 1) / 2;
}
long ans = i + 2; // 不保留后缀的情况，一共 i+2 个
// 枚举保留的后缀为 a[j:]
for (int j = n - 1; j == n - 1 || a[j] < a[j + 1]; j--) {
while (i >= 0 && a[i] >= a[j]) {
i--;
}
// 可以保留前缀 a[:i+1], a[:i], ..., a[:0] 一共 i+2 个
ans += i + 2;
}
return ans;
}
}
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