任意角的三角函数 — 单位圆定义法
当我们把锐角三角函数推广到任意角时，单位圆成为了最强大的工具。
1. 为什么需要单位圆？
初中我们用直角三角形定义三角函数：
$$\sin\alpha = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}, \quad \cos\alpha = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}, \quad \tan\alpha = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}}$$
但这个定义只适用于 $0^\circ$ 到 $90^\circ$ 之间的锐角。一旦角度超出第一象限，这个定义就失效了。
单位圆解决了这个问题：无论角度有多大，都能找到对应的函数值。
2. 单位圆定义
在平面直角坐标系中，以原点 O 为圆心、半径为 1 的圆，称为单位圆。
任意角 $\alpha$ 的顶点放在原点 $O$，始边与 $x$ 轴正半轴重合，终边与单位圆交于点 $P(x, y)$，则：
$$\boxed{\sin\alpha = y, \quad \cos\alpha = x, \quad \tan\alpha = \frac{y}{x} ;(x eq 0)}$$
这就是单位圆定义法——三角函数值直接对应终边与单位圆交点的坐标。
3. 任意角的存在
角度可以是任意实数，方向由正负决定：
- 正角：逆时针旋转
- 负角：顺时针旋转
- 旋转超过 $360^\circ$（$2\pi$）即为象限角
4. 各象限的符号规律
| 象限 | $\sin$ | $\cos$ | $\tan$ |
|---|---|---|---|
| 第一象限（$0\sim\pi/2$） | $+$ | $+$ | $+$ |
| 第二象限（$\pi/2\sim\pi$） | $+$ | $-$ | $-$ |
| 第三象限（$\pi\sim3\pi/2$） | $-$ | $-$ | $+$ |
| 第四象限（$3\pi/2\sim2\pi$） | $-$ | $+$ | $-$ |
记忆口诀：一全正，二正弦正，三正切正，四余弦正。
意思是第一象限全部为正；第二象限只有 sin 为正；第三象限只有 tan 为正；第四象限只有 cos 为正。
5. 终边相同的角
如果两个角 $\alpha$ 和 $\beta$ 的终边相同，则它们仅相差 $2k\pi$（$k\in\mathbb{Z}$）：
$$\beta = \alpha + 2k\pi, \quad k\in\mathbb{Z}$$
同终边角的同名三角函数值相等。
例如：$\sin\frac{5\pi}{6} = \sin\frac{\pi}{6}$，因为 $\frac{5\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3}$，不对，是加 $2\pi$ 才对……哦等等 $\frac{5\pi}{6}$ 本身就在第二象限，$\sin\frac{5\pi}{6} = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$。
6. 用单位圆求特殊角的值
在单位圆上标注几个关键点：
- $0$（$0^\circ$）：$(1, 0)$ → $\sin0=0,;\cos0=1$
- $\frac{\pi}{6}$（$30^\circ$）：$\left(\frac{\sqrt3}{2},;\frac{1}{2}\right)$
- $\frac{\pi}{4}$（$45^\circ$）：$\left(\frac{\sqrt2}{2},;\frac{\sqrt2}{2}\right)$
- $\frac{\pi}{3}$（$60^\circ$）：$\left(\frac{1}{2},;\frac{\sqrt3}{2}\right)$
- $\frac{\pi}{2}$（$90^\circ$）：$(0, 1)$ → $\sin\frac{\pi}{2}=1,;\cos\frac{\pi}{2}=0$
由此可直接写出 $30^\circ, 45^\circ, 60^\circ$ 的三角函数值。
7. 轴线角（临界角）
落在坐标轴上的角称为轴线角，特别注意：
$$\sin\pi = 0,; \cos\frac{3\pi}{2} = 0,; \tan\pi = 0$$
以及 $\tan\frac{\pi}{2}$、$\tan\frac{3\pi}{2}$ 不存在（分母为零）。
8. 定义的统一之美
单位圆定义的伟大之处在于：锐角三角函数只是它的一个特例。
当 $\alpha\in[0,\frac{\pi}{2}]$ 时，直角三角形的斜边恰好等于 1（即单位半径），对边即为 $y$，邻边即为 $x$，于是 $\sin\alpha = y/1 = y$、$\cos\alpha = x/1 = x$，与三角形定义完全一致。
一个定义，统一了所有角的三角函数。
📌 核心要点：任意角的三角函数值，就是单位圆上终边与圆交点的坐标 $(x, y)$，即 $\sin\alpha = y$，$\cos\alpha = x$。掌握这一几何直觉，许多三角恒等式和变换都会变得直观清晰。
下期预告：同角三角函数的基本关系 — sin²α+cos²α=1
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