圆的方程 — 标准方程与一般方程
原创作者：宝玉
一、圆的定义
在平面解析几何中，圆是到定点的距离等于定长的所有点的集合。
这个定点叫做圆心，定长叫做半径。
📐 记圆心为 $C(a, b)$，半径为 $r$，则圆上任意点 $P(x, y)$ 满足：$|CP| = r$
二、标准方程
以 $(a, b)$ 为圆心、$r$ 为半径的圆，其标准方程为：
$$\boxed{(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2}$$
推导过程
设圆心 $C(a, b)$，圆上任意点 $P(x, y)$，由距离公式：
$$\sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2} = r$$
两边平方即得标准方程。
特殊情况：圆心在原点
当圆心在原点 $(0, 0)$ 时，方程简化为：
$$\boxed{x^2 + y^2 = r^2}$$
三、一般方程
圆的一般形式为：
$$\boxed{x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0}$$
其中 $D, E, F$ 为常数，且满足 $D^2 + E^2 > 4F$（保证半径为实数）。
标准方程 → 一般方程
$$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$$
展开得：
$$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 = r^2$$
整理为：
$$x^2 + y^2 - 2ax - 2by + (a^2 + b^2 - r^2) = 0$$
即 $D = -2a$，$E = -2b$，$F = a^2 + b^2 - r^2$。
一般方程 → 标准方程（配方法）
已知 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$，通过配方化为标准形：
$$(x + \frac{D}{2})^2 + (y + \frac{E}{2})^2 = \frac{D^2 + E^2 - 4F}{4}$$
其中：
- 圆心：$\left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right)$
- 半径：$r = \sqrt{\frac{D^2 + E^2 - 4F}{4}}$
⚠️ 必须满足 $D^2 + E^2 - 4F > 0$ 才表示一个真正的圆。
四、圆的参数方程
圆也可以用参数方程表示：
$$\begin{cases} x = a + r\cos\theta \ y = b + r\sin\theta \end{cases}$$
其中 $\theta \in [0, 2\pi)$ 为参数。
当圆心在原点时：$\begin{cases} x = r\cos\theta \ y = r\sin\theta \end{cases}$
五、点到圆的距离
点在圆外
点 $P(x_0, y_0)$ 到圆 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ 的距离：
$$d = \sqrt{(x_0 - a)^2 + (y_0 - b)^2}$$
- 若 $d > r$：点在圆外
- 若 $d = r$：点在圆上
- 若 $d < r$：点在圆内
圆上一点的最短弦
过圆内一点作弦，以该点为中点的弦最短，弦长为：
$$2\sqrt{r^2 - d^2}$$
其中 $d$ 为该点到圆心的距离。
六、直线与圆的位置关系
设圆 $C: (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$，直线 $L: Ax + By + C = 0$。
圆心到直线的距离：
$$d = \frac{|Aa + Bb + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$
| 位置关系 | 判别条件 | 几何特征 |
|---|---|---|
| 相离 | $d > r$ | 直线在圆外部 |
| 相切 | $d = r$ | 直线为圆的切线 |
| 相交 | $d < r$ | 直线与圆有两个交点 |
切线的求法
方法一：判别式法
设切线斜率为 $k$，点斜式 $y - y_0 = k(x - x_0)$，代入圆方程，令判别式 $\Delta = 0$。
方法二：几何法
过圆上一点 $(x_0, y_0)$ 的切线方程：
$$(x_0 - a)(x - x_0) + (y_0 - b)(y - y_0) = 0$$
七、圆与圆的位置关系
设圆 $C_1: (x - a_1)^2 + (y - b_1)^2 = r_1^2$，圆 $C_2: (x - a_2)^2 + (y - b_2)^2 = r_2^2$。
两圆圆心距：$d = \sqrt{(a_1 - a_2)^2 + (b_1 - b_2)^2}$
| 位置关系 | 判别条件 |
|---|---|
| 外离 | $d > r_1 + r_2$ |
| 外切 | $d = r_1 + r_2$ |
| 相交 | $ |
| 内切 | $d = |
| 内含 | $d < |
八、典型例题
例题1：求圆心与半径
求方程 $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0$ 的圆心与半径。
解：配方
$$(x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) = 3$$
$$(x - 2)^2 - 4 + (y + 3)^2 - 9 = 3$$
$$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16$$
∴ 圆心 $(2, -3)$，半径 $r = 4$。
例题2：求切线方程
求圆 $x^2 + y^2 = 5$ 在点 $(1, 2)$ 处的切线方程。
解：过圆上点 $(x_0, y_0)$ 的切线为：
$$x_0 x + y_0 y = 5$$
代入 $(1, 2)$：
$$1 \cdot x + 2 \cdot y = 5$$
即 $x + 2y = 5$。
例题3：直线与圆相交
求直线 $y = x + 1$ 被圆 $x^2 + y^2 = 4$ 截得的弦长。
解：直线方程代入圆：
$$x^2 + (x + 1)^2 = 4$$
$$2x^2 + 2x - 3 = 0$$
解得交点横坐标 $x_1, x_2$，由韦达定理：
$$x_1 + x_2 = -1, \quad x_1 x_2 = -\frac{3}{2}$$
弦长：
$$|AB| = \sqrt{1 + 1^2} \cdot |x_1 - x_2| = \sqrt{2} \cdot \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2}$$
$$= \sqrt{2} \cdot \sqrt{1 + 6} = \sqrt{14}$$
九、总结
| 形式 | 方程 | 参数含义 |
|---|---|---|
| 标准方程 | $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ | $(a,b)$ 圆心，$r$ 半径 |
| 一般方程 | $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ | 需配方法求圆心半径 |
| 参数方程 | $x = a + r\cos\theta, y = b + r\sin\theta$ | $\theta$ 为参数 |
核心方法：配方法（平方差公式的逆向应用）是解决圆方程问题的基本功。
往期文章链接：
- 《平行线的判定与性质》
- 《四边形的分类》
- 《坐标变换》
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