解三角形：正弦定理与余弦定理的应用
适用年级： 高一、高二 | 难度： ★★★☆☆
一、引言：什么是”解三角形”？
“解三角形”听起来很玄乎，其实很简单——已知三角形的几个边长或角度，求出其他的边和角。
这在测量、航海、建筑、天文等领域都有广泛应用。比如：知道两座山之间的距离和它们分别相对于你的角度，就能算出你到每座山的距离——这就是解三角形的经典应用。
解三角形的两大核心工具是：
- 正弦定理——建立边长与对角的正弦值之间的关系
- 余弦定理——建立三边与一个角余弦值之间的关系
二、正弦定理
2.1 公式
对于任意三角形 $ABC$（边长分别为 $a,b,c$，对角分别为 $A,B,C$）：
$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$
其中 $R$ 为三角形外接圆的半径。
2.2 什么时候用正弦定理？
已知条件适合用正弦定理的场景：
- 已知两角及任意一边 → 先求第三角，再用正弦定理求边
- 已知两边及一边的对角 → 先求另一边的对角，再用正弦定理求角
⚠️ 注意： 已知两边及一边的对角时，可能出现两解情况（如下图的”SSA”情形）
2.3 两解问题
已知 $a, b, A$（两边及角 $A$ 的对边 $a$），求 $B$：
$$\sin B = \frac{b \sin A}{a}$$
- 若 $b \sin A < a < b$：$\sin B$ 有两个值（$B$ 与 $180°-B$），得到两解
- 若 $a = b \sin A$：刚好一解（直角三角形）
- 若 $a < b \sin A$ 或 $a \geq b$：唯一解
几何理解： 以 $C$ 为圆心、半径为 $b$ 画弧，看它与边 $AB$ 的交点个数。
三、余弦定理
3.1 公式
$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$$
$$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$$
$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$$
也可变形为求角：
$$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$$
3.2 什么时候用余弦定理？
- 已知三边，求任意一个角
- 已知两边及其夹角，求第三边
- 判断三角形的形状（锐角、直角、钝角）
💡 余弦定理是勾股定理的推广。 当 $A=90°$ 时，$\cos A = 0$，公式就变为 $a^2 = b^2 + c^2$——正好是勾股定理！
四、实战例题
【例1】已知两角及一边（SAS→正弦）
已知 $A = 30°$，$B = 45°$，$a = 6$，求 $b$ 和 $c$。
解：
$C = 180° - 30° - 45° = 105°$
由正弦定理：
$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \Rightarrow b = \frac{a \sin B}{\sin A} = \frac{6 \times \sin 45°}{\sin 30°} = \frac{6 \times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 6\sqrt{2}$$
同理：
$$c = \frac{a \sin C}{\sin A} = \frac{6 \times \sin 105°}{\sin 30°} = 12 \sin 105° = 12 \times \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} = 3(\sqrt{6}+\sqrt{2})$$
【例2】已知三边（SSS→余弦）
已知 $a=7$，$b=5$，$c=6$，求角 $A$。
解：
$$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{25 + 36 - 49}{2 \times 5 \times 6} = \frac{12}{60} = 0.2$$
$$A = \arccos(0.2) \approx 78.5°$$
【例3】实际应用——测量河宽
一条河两岸分别有 $A, B$ 两点，对岸取一点 $C$，测得 $\angle CAB = 30°$，$\angle CBA = 45°$，$AB = 100$ 米。求河宽（即 $C$ 到直线 $AB$ 的距离）。
解：
设河宽为 $h$，即 $C$ 到 $AB$ 的垂线段长度。
在 $\triangle ABC$ 中：
$$\frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B}$$
先求 $C$ 角：
$C = 180° - 30° - 45° = 105°$
$$AC = \frac{AB \cdot \sin B}{\sin C} = \frac{100 \times \sin 45°}{\sin 105°} = \frac{100 \times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sin 105°}$$
而 $h = AC \cdot \sin 30°$，代入即可得 $h \approx 36.6$ 米。
五、解三角形的一般步骤
第一步：画草图
↓
第二步：分析已知条件
↓
选择工具
↙ ↘
正弦定理 余弦定理
↙ ↘
两角一边 三边两边
两边一角 及夹角
(对角已知)
判断用哪个定理的口诀：
- 有边对角用正弦，夹角夹边用余弦
- 三边唯一余弦定，两边一角先判断
六、练习题
- 已知 $A = 60°$，$B = 75°$，$a = 10$，求 $c$。
- 已知 $a = 8$，$b = 5$，$c = 7$，求 $B$。
- 已知 $a = 9$，$b = 7$，$A = 80°$，判断有多少个解。
答案提示：
- $c = 10 \cdot \dfrac{\sin 105°}{\sin 60°} \approx 11.83$
- $\cos B = \dfrac{64+49-25}{2\times8\times7} = \dfrac{88}{112}$，$B \approx 38.2°$
- $b \sin A = 7 \times \sin 80° \approx 6.89$，$a=9 > 7$，所以 $a > b$，唯一解
下期预告： 下一篇文章我们将学习 三角函数的图像与性质，探索 $\sin x$、$\cos x$、$\tan x$ 的周期性与振幅特征。
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