弦长公式 — 求圆锥曲线上两点间的距离
在解析几何中，我们经常需要求抛物线、椭圆、双曲线上两点连线的长度。例如，求抛物线 $y^2=4x$ 被直线 $y=x+1$ 截得的弦长，或者求椭圆上两点之间的直线距离——这类问题遍布高考和竞赛题。
核心公式：
设直线 $y=kx+b$ 与圆锥曲线交于 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$ 两点，则弦长 $|AB|$ 的通用公式为：
$$|AB| = \sqrt{(1+k^2)} \cdot |x_1 - x_2| = \sqrt{(1+k^2)} \cdot \sqrt{(x_1+x_2)^2 - 4x_1 x_2}$$
或者用根与系数的关系写成：
$$|AB| = \sqrt{(1+k^2)} \cdot \sqrt{\Delta} / |a|$$
其中 $\Delta$ 是联立方程组消去 $y$ 后得到的关于 $x$ 的一元二次方程的判别式，$a$ 是二次项系数。
一、公式推导
将直线 $y=kx+b$ 代入圆锥曲线方程，得到关于 $x$ 的一元二次方程：
$$Ax^2 + Bx + C = 0$$
设两个根为 $x_1, x_2$，由韦达定理：
$$x_1 + x_2 = -\frac{B}{A}, \quad x_1 x_2 = \frac{C}{A}$$
两点间的距离（不涉及 $y$ 坐标差的直接计算）：
$$|AB| = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2} = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + k^2(x_1-x_2)^2}$$
$$= \sqrt{1+k^2} \cdot |x_1 - x_2|$$
而 $|x_1 - x_2| = \sqrt{(x_1+x_2)^2 - 4x_1 x_2} = \sqrt{\frac{B^2-4AC}{A^2}} = \frac{\sqrt{\Delta}}{|A|}$
所以：
$$\boxed{|AB| = \frac{\sqrt{1+k^2} \cdot \sqrt{\Delta}}{|A|}}$$
二、具体计算步骤
第一步： 联立直线与圆锥曲线方程，消去 $y$（或 $x$）；
第二步： 得到一元二次方程 $Ax^2+Bx+C=0$，写出 $A, B, C$；
第三步： 计算判别式 $\Delta = B^2 - 4AC$；
第四步： 代入公式 $|AB| = \dfrac{\sqrt{1+k^2}\cdot\sqrt{\Delta}}{|A|}$。
三、例题精讲
例1：求抛物线的截线弦长
题目： 求直线 $y=x+1$ 被抛物线 $y^2=4x$ 截得的弦长。
解：
将 $y=x+1$ 代入 $y^2=4x$：
$$(x+1)^2 = 4x \implies x^2 + 2x + 1 = 4x \implies x^2 - 2x + 1 = 0$$
$$x^2 - 2x + 1 = 0 \Rightarrow A=1,\ B=-2,\ C=1$$
判别式 $\Delta = (-2)^2 - 4\cdot1\cdot1 = 4-4=0$
$$|AB| = \frac{\sqrt{1+1^2}\cdot\sqrt{0}}{|1|} = 0$$
结果为 $0$，说明直线与抛物线相切于一点。
例2：求椭圆的截线弦长
题目： 直线 $x+y-1=0$ 截椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$ 的弦长。
解：
由 $y = 1-x$，代入椭圆方程：
$$\frac{x^2}{4} + (1-x)^2 = 1 \implies \frac{x^2}{4} + x^2 - 2x + 1 = 1$$
$$\frac{x^2}{4} + x^2 - 2x = 0 \implies \frac{5}{4}x^2 - 2x = 0$$
$$5x^2 - 8x = 0 \Rightarrow A=\frac{5}{4},\ B=-2,\ C=0$$
$$\Delta = (-2)^2 - 4\cdot\frac{5}{4}\cdot0 = 4$$
直线斜率 $k = -1$，所以 $1+k^2 = 2$
$$|AB| = \frac{\sqrt{2}\cdot\sqrt{4}}{\frac{5}{4}} = \frac{2\sqrt{2}}{\frac{5}{4}} = \frac{8\sqrt{2}}{5}$$
例3：直接使用 $|x_1-x_2|$ 型公式
题目： 直线 $y=2x+1$ 截双曲线 $xy=2$ 的弦长。
解：
代入 $y=2x+1$ 得：
$$x(2x+1) = 2 \implies 2x^2 + x - 2 = 0$$
$$A=2,\ B=1,\ C=-2$$
$$\Delta = 1^2 - 4\cdot2\cdot(-2) = 1+16=17$$
$$|AB| = \frac{\sqrt{1+4}\cdot\sqrt{17}}{2} = \frac{\sqrt{5}\cdot\sqrt{17}}{2} = \frac{\sqrt{85}}{2}$$
四、水平弦与特殊情形
水平弦（斜率 $k=0$）
当直线为 $y=c$（水平线）时，弦长退化为：
$$|AB| = |x_1 - x_2| = \sqrt{\Delta}/|A|$$
竖直弦（直线 $x=c$）
当直线为竖直线时，需要交换角色——将 $x$ 视为函数，对 $y$ 求解：
$$|AB| = \sqrt{1 + \frac{1}{k^2}} \cdot \frac{\sqrt{\Delta}}{|A|} \quad (k \neq 0)$$
或者直接使用 $|y_1-y_2|$ 的形式：
$$|AB| = |y_1 - y_2| \cdot \sqrt{1+\frac{1}{k^2}}$$
五、记忆口诀
“联立消元写方程，系数分明Delta算；
一根一差代公式，根号一加k方莫忘记。”
其中 $|AB| = \dfrac{\sqrt{1+k^2}\cdot\sqrt{\Delta}}{|A|}$ 是核心，$k$ 是直线斜率，$A$ 是二次项系数。
六、公式的物理意义
弦长公式本质上描述的是直线与曲线相交时，两交点之间的欧氏距离。当直线恰好是曲线的切线时，$\Delta=0$，弦长为 $0$，对应几何上的”相切”而非”相交”。
在光学性质中，圆锥曲线的焦半径性质也与弦长密切相关——椭圆的平均弦长、双曲线的实轴长度，都是弦长概念的延伸。
七、练习题
- 求直线 $y=3x+2$ 被抛物线 $x^2=8y$ 截得的弦长。
- 直线 $x-y+1=0$ 截椭圆 $\dfrac{x^2}{9}+y^2=1$，求弦长。
- 判断直线 $y=2x-3$ 与双曲线 $\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{3}=1$ 的交点个数，并求交点间距离。
下期预告： 我们将继续探讨轨迹方程的求解方法——如何用代数语言描述一个动点随时间变化而形成的曲线轨迹。
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