同角三角函数的基本关系
为什么 sin²α + cos²α = 1？
这是三角函数中最核心的恒等式，由它可以推导出一系列重要关系。本文用最直观的方式，带你彻底掌握它。
一、基本关系式一览
对于任意角 α，以下三个等式始终成立：
$$sin^2α + cos^2α = 1$$
$$tanα = \frac{sinα}{cosα}$$
$$1 + tan^2α = sec^2α$$
其中第二个式子是 tan 的定义，第三个式子可由第一式两边除以 cos²α 推得。
二、从单位圆出发
在直角坐标系中，以原点为圆心、1 为半径作单位圆。
设圆上一点 P(cosα, sinα)，则 OP = 1。
根据勾股定理：
$$OP^2 = (cosα)^2 + (sinα)^2 = 1^2$$
即 sin²α + cos²α = 1。
这就是单位圆给我们的最直接几何证明。
三、由基本关系推出的六组变形
由 sin²α + cos²α = 1，可衍生出以下常用变形：
| 已知条件 | 推导结论 |
|---|---|
| sinα = ±√(1-cos²α) | sin² = 1 - cos² |
| cosα = ±√(1-sin²α) | cos² = 1 - sin² |
| sin²α = 1-cos²α | 同上 |
| tanα sinα = cosα | 乘以 cosα 得 sin = tan·cos |
注意：开方时要根据 α 所在象限确定正负号。
四、例题精讲
例1： 已知 sinα = 3/5，且 α 在第一象限，求 cosα 和 tanα。
解：
$$cosα = \sqrt{1-sin^2α} = \sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$$
$$tanα = \frac{sinα}{cosα} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$$
例2： 已知 cosα = -1/3，α 在第二象限，求 sinα。
解：第二象限 sin 为正：
$$sinα = \sqrt{1-cos^2α} = \sqrt{1-\frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$
五、1 + tan²α = sec²α 的证明
将 sin²α + cos²α = 1 两边同时除以 cos²α（cosα ≠ 0）：
$$\frac{sin^2α}{cos^2α} + 1 = \frac{1}{cos^2α}$$
即：
$$tan^2α + 1 = sec^2α$$
这是三角函数化简中极其常用的恒等变形。
六、记忆口诀
“正余平方和为一，正余相除得正切；一加正切平方等于正割平方。”
记住单位圆上的点 (cosα, sinα)，所有公式都可以从它的坐标推导出来。
七、实战练习
- 已知 sinα = 5/13，求 cosα 和 tanα（α 在第一象限）
- 已知 tanα = 2，求 sin²α + cos²α（提示：答案是 1）
- 化简：sin⁴α - cos⁴α = (sin²α - cos²α)(sin²α + cos²α) = sin²α - cos²α
小结
同角三角函数的基本关系是三角函数章节的基石，核心就是单位圆上点 (cosα, sinα) 到原点的距离恒为 1。围绕这个核心，记住三个主公式及它们的变形，应付大多数化简与求值题目就够用了。
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