半角公式：用一个角的三角函数表示它的半角
从二倍角说起
在上一篇文章中，我们介绍了二倍角公式：
$$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$$
$$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha$$
既然有”二倍”，自然就有”半倍”。如果已知 $\cos\alpha$，能否求出 $\cos\frac{\alpha}{2}$？这就引出了半角公式。
公式推导
半角公式可以从二倍角公式反推出来。
余弦的半角公式：
由 $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$，令 $\theta = \frac{\alpha}{2}$，则：
$$2\sin^2\frac{\alpha}{2} = 1 - \cos\alpha$$
$$\boxed{\sin\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}}}$$
同理，由 $\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1$：
$$\boxed{\cos\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}}}$$
正切的半角公式：
$$\tan\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\frac{\alpha}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{1 + \cos\alpha}}$$
还有一个更常用的形式（用正弦和余弦的半角表示）：
$$\boxed{\tan\frac{\alpha}{2} = \frac{\sin\alpha}{1 + \cos\alpha} = \frac{1 - \cos\alpha}{\sin\alpha}}$$
符号怎么定？
公式中出现的 $\pm$ 号，是最容易被忽略却又至关重要的细节。
$\frac{\alpha}{2}$ 所在象限决定符号：
- 若 $\frac{\alpha}{2}$ 在第一象限：$\sin\frac{\alpha}{2} > 0$，$\cos\frac{\alpha}{2} > 0$，取正
- 若 $\frac{\alpha}{2}$ 在第二象限：$\sin\frac{\alpha}{2} > 0$，$\cos\frac{\alpha}{2} < 0$，$\sin$ 取正，$\cos$ 取负
- 若 $\frac{\alpha}{2}$ 在第三象限：$\sin\frac{\alpha}{2} < 0$，$\cos\frac{\alpha}{2} < 0$，取负
- 若 $\frac{\alpha}{2}$ 在第四象限：$\sin\frac{\alpha}{2} < 0$，$\cos\frac{\alpha}{2} > 0$，$\sin$ 取负，$\cos$ 取正
记忆技巧：半角函数的符号，等同于 $\frac{\alpha}{2}$ 本身的三角函数符号。
万能公式（补充）
半角公式还有一个重要应用——万能公式，它用 $t = \tan\frac{x}{2}$ 来表示所有三角函数：
$$\sin x = \frac{2t}{1 + t^2}$$
$$\cos x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$$
$$\tan x = \frac{2t}{1 - t^2}$$
这个公式在积分计算中尤为有用，因为令 $t = \tan\frac{x}{2}$ 可以把三角函数的有理式转换为多项式。
例题精讲
例1： 已知 $\cos\alpha = \frac{3}{5}$，且 $\alpha$ 在第四象限，求 $\sin\frac{\alpha}{2}$ 和 $\cos\frac{\alpha}{2}$。
解：
$\alpha$ 在第四象限 → $\frac{\alpha}{2}$ 在第二象限（因为 $\alpha \in (270°, 360°)$，$\frac{\alpha}{2} \in (135°, 180°)$）
$$\sin\frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{2}{2 \times 5}} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$
第二象限正弦为正，所以 $\sin\frac{\alpha}{2} = +\frac{\sqrt{5}}{5}$
$$\cos\frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}} = -\sqrt{\frac{1 + \frac{3}{5}}{2}} = -\sqrt{\frac{8}{2 \times 5}} = -\sqrt{\frac{4}{5}} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$$
（第二象限余弦为负，取负号）
总结
| 公式 | 形式 |
|---|---|
| $\sin\frac{\alpha}{2}$ | $\pm\sqrt{\dfrac{1 - \cos\alpha}{2}}$ |
| $\cos\frac{\alpha}{2}$ | $\pm\sqrt{\dfrac{1 + \cos\alpha}{2}}$ |
| $\tan\frac{\alpha}{2}$ | $\dfrac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} = \dfrac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}$ |
核心思路： 半角公式本质上是二倍角公式的逆运算。记住推导过程比死记公式更重要——从 $\cos 2\theta$ 出发，设 $\theta = \frac{\alpha}{2}$，就能自然得到结果。
下期预告：万能公式 — 用 tan(α/2) 统一三角函数，我们将在半角公式的基础上，深入探讨万能代换的威力。
数学之美，在于简洁与对称。
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