数列与通项公式：等差数列与等比数列
数列是数学中最基本的概念之一——按一定规律排列的一串数。理解数列，关键在于找出它的”生成规则”，也就是通项公式。
今天，我们重点讲两类最重要的数列：等差数列和等比数列。
一、等差数列（Arithmetic Sequence）
1. 什么是等差数列？
从第2项起，每一项与前一项的差是一个固定的数，这个固定的值叫做公差，记作 d。
例子：
2, 5, 8, 11, 14, ...
公差 d = 3
2. 通项公式
等差数列的通项公式：
$$a_n = a_1 + (n-1)d$$
其中：
- $a_1$ 是首项
- $d$ 是公差
- $n$ 是项数
推导： 每一项都比前一项多一个 d，所以第 n 项就是首项加 (n-1) 个 d。
例子： 首项 2，公差 3，则第 5 项：
$$a_5 = 2 + (5-1)\times3 = 2 + 12 = 14 \checkmark$$
3. 前 n 项和公式
$$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2} = \frac{n[2a_1 + (n-1)d]}{2}$$
记忆技巧： 和 = “平均数 × 项数”，即首项与末项的平均值乘以项数。
例子： 2 + 5 + 8 + 11 + 14 的和：
$$S_5 = \frac{5\times(2+14)}{2} = \frac{5\times16}{2} = 40$$
4. 等差数列的性质
- 若 $m + n = p + q$，则 $a_m + a_n = a_p + a_q$（等差中项的推广）
- 等差中项：$a, b, c$ 成等差数列 $\Leftrightarrow$ $b = \frac{a+c}{2}$
二、等比数列（Geometric Sequence）
1. 什么是等比数列？
从第2项起，每一项与前一项的比是一个固定的值，这个固定的值叫做公比，记作 q。
例子：
3, 6, 12, 24, 48, ...
公比 q = 2
注意： 等比数列中不能有 0 项，因为 0 做被除数会导致公比无意义。
2. 通项公式
等比数列的通项公式：
$$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$$
推导： 每一项都是前一项乘以公比 q，所以第 n 项就是首项乘以 q 的 (n-1) 次方。
例子： 首项 3，公比 2，则第 5 项：
$$a_5 = 3 \times 2^{5-1} = 3 \times 16 = 48 \checkmark$$
3. 前 n 项和公式
当 $q \neq 1$ 时：
$$S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q} = \frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$$
当 $q = 1$ 时（特殊但简单）：
$$S_n = n \cdot a_1$$
推导（错位相减法）：
S_n = a_1 + a_1q + a_1q² + ... + a_1qⁿ⁻¹
qS_n = a_1q + a_1q² + ... + a_1qⁿ⁻¹ + a_1qⁿ
─────────────────────────────────────────────
S_n - qS_n = a_1 - a_1qⁿ
提公因子：$S_n(1-q) = a_1(1-q^n)$，即可得到公式。
例子： 3 + 6 + 12 + 24 + 48 的和（a₁=3, q=2, n=5）：
$$S_5 = \frac{3(2^5-1)}{2-1} = \frac{3\times31}{1} = 93$$
4. 等比数列的性质
- 若 $m + n = p + q$，则 $a_m \cdot a_n = a_p \cdot a_q$
- 等比中项：$a, b, c$ 成等比数列 $\Leftrightarrow$ $b^2 = ac$（且 a、c 同号）
三、两类数列对比
| 特征 | 等差数列 | 等比数列 |
|---|---|---|
| 关键词 | “差相同” | “比相同” |
| 基本运算 | 加法叠加 | 乘法叠加 |
| 通项公式 | $a_n = a_1 + (n-1)d$ | $a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$ |
| 求和公式 | $S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}$ | $S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$（q≠1） |
| 中项定义 | 算术平均数 $b=\frac{a+c}{2}$ | 几何平均数 $b=\sqrt{ac}$ |
四、典型例题
例题1： 等差数列中，$a_1 = 5, d = 3$，求 $a_{20}$ 和 $S_{20}$。
$$a_{20} = 5 + (20-1)\times3 = 5 + 57 = 62$$
$$S_{20} = \frac{20\times(5+62)}{2} = \frac{20\times67}{2} = 670$$
例题2： 等比数列中，$a_1 = 2, q = \frac{1}{2}$，求 $a_6$ 和 $S_6$。
$$a_6 = 2 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{5} = 2 \times \frac{1}{32} = \frac{1}{16}$$
$$S_6 = \frac{2\left[1-\left(\frac{1}{2}\right)^6\right]}{1-\frac{1}{2}} = \frac{2\left(1-\frac{1}{64}\right)}{\frac{1}{2}} = \frac{2\times\frac{63}{64}}{\frac{1}{2}} = \frac{63}{32}$$
例题3： 在 3 和 27 之间插入两个数，使它们成为一个等差数列的连续三项。
解：设插入的两个数为 $a_2, a_3$，公差为 d。
$$3 + 2d = 27 \Rightarrow d = 12$$
所以插入的两项为 15 和 27。
例题4： 在 2 和 32 之间插入一个数，使三个数成为等比数列。
解：等比中项 $b = \sqrt{2\times32} = \sqrt{64} = 8$
所以插入的数为 8。
五、为什么数列很重要？
数列是从离散走向连续的桥梁。它不仅在纯粹的数学中应用广泛（数论、组合数学），在生活中也有大量应用：
- 等差数列：按固定金额分期付款、均匀减速运动、梯田种植
- 等比数列：复利计算、人口增长、放射性衰变、病毒传播模型
掌握等差和等比数列，你就已经理解了大多数日常数量变化的基本规律。
六、学习建议
- 熟记公式：通项公式和求和公式是基础中的基础
- 理解推导：用”错位相减法”推导等比求和公式，这是数列章节的核心技巧
- 多做变式：注意公差/公比为负数、为分数的情况
- 联系函数：把数列看作定义在正整数上的函数，有助于理解通项公式
下期预告：三角函数基础 — sin/cos/tan 的几何定义
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